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群論

 投稿者:玉川  投稿日:2013年 4月23日(火)15時27分21秒
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  海外のサイトにカナダの学生が投稿した群論の問題があった。
この問題には、学生や数学教師などの他の回答者からの回答がなかった。
そこで、浪人時代に独学で学んだ知識をもとに、50代の親父が挑戦した。

【問題】次の命題を証明せよ。
“すべての真の部分群が可換である有限群は単純ではない。”

【私の解答】  H≠{e} を有限群Gの極大部分群、かつ、Gの真の部分群すべてが可換群であると仮定する。
a∈G をHに属さない任意の元、かつ、K= a^(-1) H a とする。

(1) すべての a∈G について、H = K= a^(-1) H なら、
HはGの正規部分群である …..①

(2) H≠K となるKが存在するとき、H⊂HK かつ H≠HK
かつ、HはGの極大部分群なので, HK = G

(i) H∩K={ e }なら, G=HK は可換群である。
(H∩K={ e }のとき, HK は “HとKの直積”と呼ばれる。可換群は巡回群の直積なので、 2個の可換群H, Kの直積であるHKも可換である。)
Gが可換群なら、すべてのa∈Gについて、aH=Ha
よって、Hは正規部分群である ……②

(ii) H∩K≠{ e }のとき
部分群HとK は可換群なので、すべての x∈H∩K とすべての y∈H∪K について、 xy = yx ……③

また、G = HK = { X1 X2…… Xn : Xi∈H∪K }
③より 、
すべての a = (X1 X2…..Xn)∈HK=G 、すべての b∈H∩K について、
ab = (X1 X2…..Xn) b = {X1 X2…..X(n-1)} b Xn =
………= X1 b (X2…..Xn) = b(X1 X2…..Xn) = ba
よって、 すべての a∈KH=G について、 a^(-1) (H∩K) a = H∩K
かつ H∩K≠{ e }により、 H∩KはGの真の正規部分群である …… ④

①,②,④より、群Gは単純ではない。 (証明終)

【解説】 0以外の実数全体の集合R-{0}の元の間で掛け算だけを行うと、すべての積、単位元1、そして、すべての元の逆元(逆数)が集合R-{0}に含まれる。
このような集合を群という。
さらに、R-{0}の部分集合である正の実数をR(+)とすると、R(+)も群となっている。
このように、群である部分集合を部分群という。
群Gの部分群Hの個々の元に、左右からa∈Gをかけた集合をaH、あるいはHa と表し、それぞれ左剰余類、右剰余類という。
前述のR(+)の場合、1×R(+) = R(+)自身と (-1)×R(+) = {x∈R : x<0}の2個の左剰余類がある。 (右剰余類も同様。また、{1、-1}も乗法について群であることに注目。)
R-{0}におけるR(+)のように、個々の元に対する左右の剰余類が一致する群を正規部分群という。
群GがG自身と{e}以外に正規部分群を持たないとき、Gは単純であるという。
{1,-1}のように有限個(この場合は2個)の元からなる群を有限群という。
交換法則 xy=yx が成り立つ群を可換群という。
すべての元が単一の元 a のべきa^n (nは整数)で表される群を巡回群という。

※答えを得るのに2日間を要したが、頭の体操になった。
 
 
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